18 SUR LA CONVERGENCE DUNE 



l'étant le développement à un terme quelconque, a fait le sujet des recher- 

 ches de plusieurs géomètres : Poisson est, je crois, le premier qui a ex- 

 primé par une intégrale déflnie le reste que l'on néglige, en s'arrêtant à 

 un terme quelconque de la série infinie (tome VI des Mémoires de l'inslkul , 

 pag. 571). La même question a été traitée par M. Jacobi, dans un mémoire 

 inséré dans le tome XII , pag. 263 , du Journal de Crelle ; mais aucun de 

 ces géomètres n'a considéré cette série sous le point de vue de sa conver- 

 gence, et je ne sache pas que l'on ait déjà déterminé un caractère appli- 

 cable à la série d'Euler, analogue à celui que fournit le théorème de 

 M. Cauchy, pour les formules de Taylor et de Maclaurin, et au moyen 

 duquel on puisse décider, a prioi'i, si, pour une fonction donnée, cette 

 série sera convergente ou divergente. La détermination d'un tel caractère 

 fait l'objet principal des recherches suivantes. 



Dans un mémoire sur le développement des fonctions en séries pério- 

 diques {Màn. de l'Iiist., tom. VI, pag. 609), M. Cauchy a donné la formule 



(I) 



la fonction vf{x) ne devenant infinie pour aucune valeur de x dont la partie 

 réelle est comprise entre o et h. Si, dans cette équation, nous changeons 

 z en X — Xa et que nous fassions en même temps f(a;' — x„) = f[x), l'équa- 

 tion précédente nous donnera 



(2) lf(3Mx = h 



■'■'■■^'' r(x,)-^f(x,-^h) 



Jf(x)dx = > 



S 



_ I /-(jJ+A+jt/— i) - t[x,+h—zV—\) — f{x,+zV—\)-^f{x—zV—\) dz 



V—\ -- I 



y ^ e * - — 1 



Supposons que la fonction /"(.r) ne devienne infinie pour aucune valeur de 

 X dont la partie réelle soit comprise entre a;„ et X, et posons X — Xo = nh, 

 n étant un nombre entier; on pourra mettre successivement x„, Xo -\- li , 



