CERTAINE CLASSE DE SÉRIES. 19 



a.,j-|-2/t, .... a;„ + (H — 1)// à la place de «„ dans l'équation ci-dessus, el 

 l'on aura une suite d'équations qui, étant ajoutées membre à membre, 

 donneront la formule très-remarquable 



(3). . . J flr)d.v = hl!J{x„) + f{.v, + h} -, f(x„ + <îh) +..,.+ f(x^ + (n—{)h + \;f(\)] 

 II. 



I v^ ' ^^ 



o ^ 



Nous allons faire voir comment on peut la déduire immédiatement de 

 l'analyse qui a conduit M. Cauchy à l'équation (1). 



D'après un théorème connu, on a, lorsque la fonction 9)(j: + : '/^) 

 s'évanouit pour j = oo , 



/ ç>.i-(/t= / ==^ — ! -dzA'i.TrV- 



-I oKum^ 



o^o ((?(# désignant, conformément aux notations du calcul des résidus, 

 la somme des valeurs que prend la partie indépendante de £ dans l'ex- 

 pression eij)(a;o-f- s), correspondantes aux valeurs de z qui satisfont à l'équa- 

 tion ij)(2) = ± 00 et qui ont leur partie réelle comprise entre o et a;„ et les 

 coefficients du radical V — 1 entre o et oo . Lorsque la partie réelle d'une 

 des racines de l'équation y(z) = ± oo coïncide avec l'une des limites o, a;„, 

 ou le coefficient de ^ — 1 avec une des limites o, oo , on doit réduire le 

 résidu qui en résulte à la moitié de sa valeur. 



En retranchant de l'équation précédente celle qu'on obtient en y chan- 

 geant ajo en X, il vient 



-I ''2°°((rW)). 



■.[x)dx =. I -^ 'dz-^-UV 



J v-\ 



X„ f) 



Si la fonction <p(x + z ^ — 1) s'évanouit pour z = — oo , on a de même 



i(r)rf.r=_ / '-~^ dz — 'izV~\ 2 



{wm- 



