CERTAINE CLASSE DE SÉRIES. 21 



cause de 



■-^ (x-«) |/=î _ , --^ (x-^) l/HÏ 



i, - r^f[x)dx 



^ f m^zV—\)-f[\-zV-i)-f[x,^zV-s. )^f[x,~zV-\ 



dz 





2tI/ — I 



\°mz)))~\° „ ((^w)) 



Mais si la fonction f[x) ne devient inflnie pour aucune valeur de ,r dont 

 la partie réelle soit comprise entre a;» et X, l'équation 



= ± 00 





-1 



en y faisant j:==a;„, n'aura évidemment que les seules racines réelles 



i' = j-„ -(- rh , 



r étant l'un des nombres 0, 1,2,3 .... n; puisque x est compris entre 

 les limites Xo et X. 

 On aura donc 



IKMz))) - "^1 ((M^)» = ''^l. Mz))) = - "s" [(Hz))): 

 mais on a évidemment 



^^2_. (?(^)))= 2^^Jim.f5;(.r„-+-r/i-t-f) = —2îr/tl/- I [;;/-(.r„) -+-/•(.,„ -t-ZO-t-Z'fj-u + S/i) ... 



+ /-K.^(„-lft) + i/(X)], 



en ayant soin de réduire les résidus extrêmes à la moitié de leurs valeurs. 

 Donc enfin 



Jf(x)d. 



> = /([ ! f{x„) + /-(.r, + /, ) + f(r., + 2/() +.... + f[x, -t- (n - 1 ) /i -t- J /'(X) ] 

 _ f'''f(\+ zV^)— l\\ --zV~\)—f[r„+zV^)-^f(x,-zV'^\) dz 



-f 



