CERTAINE CLASSE DE SÉRIES. 23 



Cette équation coïncide visiblement avec la formule d'Euler, à cause 

 de la relation 1.2 3 .... 2rX^,=^ B,,_,, qui existe entre les coefficients A„, 

 A, .... et les nombres bernoulliens B,, B, .... Or, il est évident que si la 

 série 



■p (x) = a„ -t- a,x -H OiX' ■+- Oji' -+- 



est convergente pour toutes les valeurs de x inférieures à 6, il en sera de 

 même de la série 



f(i:)clx -i- u, I ^{x)3cdx^ai I >f[x]x'dx ^ ...., 



" o it 



h 



l'intégrale /^ (x) x"'dr étant supposée une quantité finie; cette dernière 

 série serait au contraire divergente, si l> surpassait la plus petite des valeurs 

 de X pour laquelle la première le devient. 



Il résulte de là que la convergence de la série 



A.[/'(X) + /'(..g]/*'-A,[r'(X)-/-(^„)]/.' + 



dépend de la possibilité de développer la fonction i//(X, z)--^(x,, z) en 

 série convergente pour toutes les valeurs de z. 



On peut donc énoncer le théorème suivant : 



La série d'Euler est convergente si la fonction 



2 F=T ^ ■ ' ' '' ~ ^^'°' ^' 



reste finie et continue pour toutes les valeurs du module de ;. 



Faisons, pour abréger, <^(X, z)~<p{x„, 2) = ^(2); il est visible que toutes 

 les dérivées d'ordre pair de la fonction 9(2) s'évanouiront avec 2 et que l'on 

 aura pour celles d'ordre impair 



,,(«1+0 „(s.,+.) (.„+,) ,.,„+,) _ 



d'où 



'«"+' r/-"+' ,.(«'+0, 



fto) = (-!/■ [f[X) - I (z.)J. 



