-2i SUR LA CONVERGENCE D'UNE 



Ij'inlégration par partie donnera donc 



o o 



en inlégrant une seconde fois, on a 



/ ? s) ^,_, — r^, — »- = -r- / ? Oï) 2. -^ rf; 



t/ ' V ^ 1 = 1 J-!» 2t ,/ '^ \ ■' 1 = 1 ,-3,i4-i 



" o 



/) 00 

 (2'1+1) i 





c ,'i:)/4-a 



rf^; 



et en multipliant cette équation par-^;^, il vient 





' = »« A - r/>(2)H-l) .(2)1+1) 



i, = , -Jû- dz = (-1)" A,+„ h-^n+. L/ ^X) - /^ (.■„) J 



/» ri.T 



(2.1+ï „■ = « (>"""«" = 



De cette équation et de l'équation (5) , on conclut immédiatement 



(5) . . J (■(j-)da- = li[ll\.r.,) -+ /-(Xo + ZO + /-(.r + S//) -4- + f{s. + (n— 1)/* + <^ f[X)] 



~ A,/.*[r(X)-/^(x„)] -. A</,' L/-"(X)-r'H.r„)] - - (-1)" A,,,;,- [/'tx)'- /" w"j 



2/« 



(2 



/• 1-|,T 



I = 00 g— 4 = -in 



On a ainsi une nouvelle expression du reste que l'on néglige en s'ar- 

 rètaut à un terme quelconque de la série d'Euler. 



Supposons que la fonction f{\ + 2 V/ — 1) s'évanouisse pour X = x , 

 quel que soit 2, et que l'équation f(.t) = =b 00 n'ait aucune racine dont 

 la partie réelle soit positive ou nulle, l'équation (5), en y faisant X= ao , 

 x„ = et // = 1 , donnera l'équation 



■1 /"./"w /a.-I/=î)-/(— »/-i) rf. 



H I f(.r)d^^ I '-i~ -^^ '. _-^_+./■^o)=/■(0)+A•)+A'■!)+A3)+••■ 



y — \ ^, — ( 



