SOLUTION 



PROBLÈME DE C4LCUL INTÉGRiL. 



La note qu'on va lire a pour objet la résolution d'un problème de calcul 

 intégral dont voici l'énoncé : 



« fxetv étant deux fonctions données de x et de y, déterminer les quan- 

 tités M et N, de telle sorte que l'équation Mdx~\-'^dy=o ait pour intégrale 

 immédiate M^+Nv=C, si elle est une différentielle exacte, ou que, si elle 

 ne l'est pas, elle admette un facteur d'intégration de la forme (M/;.-l-]Nv)'', 

 p étant un nombre quelconque positif ou négatif, réel ou imaginaire (*). » 



Cet énoncé présente deux questions distinctes qui ne paraissent pas 

 pouvoir admettre une solution commune : ou bien l'équation M c/a;+Nrfj/=o 

 doit être immédiatement inlégrable; ou bien elle doit le devenir au moyen 

 d'un facteur d'intégration. Cette dernière question est du petit nombre de 

 celles qui se résolvent par l'emploi des équations aux différentielles par- 

 tielles simultanées. La première, au contraire, est susceptible d'une solu- 

 tion beaucoup plus simple. Occupons-nous-en d'abord. 



L'équation différentielle M</x-j-Nc/j/=o doit être par hypothèse une 

 différentielle exacte, et admettre pour intégrale la fonction M/-(+Nv, dans 



(■) Voir le n" 5 du loin. Xlll des liulUtins de t'Àcadànie royale. 



