4 SOLUTION D'UN PROBLÈME 



laquelle fx et y sont deux fonctions données de x et de y. Soit F la fonc- 

 tion M,u-fNv. Il faut donc que, d'une part, on ait 



(I) M/i +- N!' = K 



et que, d'autre part, la différentielle totale de F soit identiquement égale à 

 Mrfj + Nf/i/. De cette dernière condition, on tire : M = — , N = ^, et 

 l'équation (1) devient par là 



(/F rfF 



d'où l'on voit que la question revient à intégrer l'équation aux différen- 

 tielles partielles (2). 



Cette intégration étant faite, on trouve F = c"^ v- t^{iC)o\\Y=c-' ^a^ifi) 

 pour la fonction cherchée. Dans ces expressions équivalentes de F, u in- 

 dique l'intégrale de \i.dx — vdy, et ip (k) est une fonction tout à fait arbi- 

 traire de cette intégrale. 



La valeur générale de F étant 



(51 F = e" H- ^(m), 



si on la différcntie successivement par rapport à x et à y, on en conclura 

 pour M et IN 



„ J\ ,,'-fT f^d.-Au) du 

 M = c K- -j()(). — *- ■+■ c y- — — — — 



dx du dx 



/"l^ d.f— /"fe d. ■. (m) du 



N = c V- -, (u). -'-^ -\- e V- du ' dy ' 

 dy 



Soit z, le facteur qui rend l'équation [jdy — vdx=o immédiatement in- 

 tégrable. u étant l'intégrale de cette équation, on doit avoir 



du du 



— = — Z,>, — = z, fi. 



dx dij 



