SOLUTION D'UN PROBLÈME 



duit cette valeur dans l'expression diflérentielle — , et après avoir calculé 

 /y, comme une simple fonction de x, ou y remplace u par sa valeur 



/■(a;, y)- 



Si l'on prend pour exemple 



on aura 



y * 



a l> 



ydy xdx 

 a b 



d'où 



u = by^ 



La fonction cherchée F sera donc 



F = e"-' 'J y{by-i — ax^). 



Mais on a j/ = l^"""^, et l'intégrale aj'j devient par là ^"^yp 



et répond à l'expression finie 



log. (x)/a ■+■ l/aj* +• u) " ou à log. (xV'u -^- yVb) 



on a donc enfin 



F = (.i-|/a H- yV'b)^'''' f(by''- -+- ax'^); 



fonction dont les dérivées partielles sont les expressions de M et de N. 

 Lorsque l'on fait f< = -, v ^- dans les équations (2) et (3), on a 

 celles-ci : 



et 



dV dF 



-— X + — y ^^ nV; 

 dx dy 



la première comprend toutes les fonctions homogènes et la seconde est la 

 traduction algéhrique de leur propriété caractéristique. 



Ainsi l'équation (2) est une extension du théorème des fonctions homo- 



