12 SOLUTION D'UN PROBLÈME 



l'équalion précédenlc se réduit à 

 el son intégrale 



dz 

 (M,a -t- Nv) ;)(/ (M,i4 + Nv) = n 



est le facteur d'intégration de Mf/j; + Nf/j/=o. 



On reconnaît par cette valeur de z, que l'on obtiendra les valeurs de- 

 mandées pour M et N en intégrant les équations (2), qui sont deux équa- 

 tions simultanées aux différenlielles partielles. Or, en les ajoutant, après 

 les avoir multipliées respectivement par dx et dy, on trouve 



idu dm 



pd(Mf, + N.) + Ij^ —1 {f^dy — ydi:) = », 



et cette dernière équation a pour intégrale 



(9) M/i -^- Nv = 0(((), 



u étant, comme plus haut l'intégrale de f/rfy — vdx et 0{u), une fonction 

 arbitraire de cette intégrale. Pour obtenir l'équation (9), on observe que 

 les quatre dérivées partielles 



f/M rfM t/N rfiN 

 dx dy dx dy 



étant liées entre elles par deux équations seulement, on est autorisé à trai- 

 ter deux —, — de ces quatre quantités comme arbitraires. Nommant 

 ensuite z, le facteur qui rend idy — vdx intégrable, l'équation à intégrer 

 devient 



m dN 



rf(M^ H- Nv) -f- ''" __ ^ ■ z,{fidx — ydx) = 0, 



et puisque le premier terme est une différentielle immédiate et que le fac- 

 teur I, {ixdij — vdx) du second terme est pareillement la différentielle im- 



