DE CALCUL INTÉGRAL. 15 



médiate d'une quantité u, il est nécessaire et il suffit que l'autre facteur 



m dM 

 dy dx 



pz, 



soit une fonction quelconque de u. 



L'équation (9), qui peut être substituée à chacune des équations (8), 

 permet de transformer celles-ci en d'autres, plus faciles à intégrer. En la 

 différentiant d'abord par rapport à x, on trouve 



dM rfN il/x dy do du 



//. — -+- y — -4- M — -f- ÎS — = — — , 



dx ds dx dx du dx 



i désignant par abréviation la fonction arbitraire S [n). 3Iultiplions cette 

 équation par p + 1 , et relrancbons-en ensuite la première des équations 

 (8), il viendra 



(/M rfM dfi. dv di du 



tjL — -(- V — -+- M — -I- N ■ — — (p -1- 1 ) — . — =0. 

 dx dy dx dx dti dx 



Éliminant N de celle-ci au moyen de la relation (9), on obtiendra enfin 



(/M dM I dfi dv\ dv di du 



(10). . . /.:. -- -+- v^î — H- M U — - ,a -- -t- 9 (^ + 1)^ _._=„. 



dx dy \ dx dx j dx du dx 



En traitant de la même manière la seconde des équations (8), on la 

 transforme en celle-ci 



dN f/l\ / f/y dfi\ du. d6 du 



(II). . . ^2 + ^ _ ^_ N U__. - -t-ô -(/) + 1 )/.-.— =,.. 



dx dy \ dy dy j dy du dy 



L'intégration des équations simultanées (8) est donc ramenée à celle des 

 équations (10) et (11), qui contiennent les fonctions M et N isolées l'une 

 de l'autre. Los procédés connus poui' l'intégration des équations aux diffé- 

 rentiflles partielles du premier ordre, conduiront, dans chaque cas par- 

 ticulier, aux valeurs de ces fonctions. Ainsi, supposons que, y. cl -j étant 



