DE CALCUL INTÉGRAL. 15 



On s'assurerait, comme on vient de le faire pour l'équation (10), que 

 l'intégration de l'équation (11) revient à celle des équations simultanées 



dy rf/i\ N , y S d/j. , .,1 di du' 



dy dy I /xy 



l^dy — vdx = 0. 



, „- „^ , 1, r 6 dfi l di du'\ 



dN+U- v—\ — dy+\—- , (/>+!)-• -r- j- <'/ = " 



(16). . • s \ "Il dy I ij.y L iJ.y dy -j du dy J 



D'après cela, la variable x étant éliminée de la première de ces équa- 

 tions au moyen de sa valeur tirée de u^c, on intégrera cette équation 

 linéaire, et après avoir remplacé c par sa valeur u dans le résultat, on 

 l'égalera à une fonction arbitraire tp{u) de m, et l'on aura l'intégrale de 

 l'équation (11). La valeur de N, tirée de cette intégrale, peut semblable- 

 nient être désignée de cette manière 



(17) N = fond. Ix, y, u, «,— ', ^(m)| = /",. 



Toutefois, ces valeurs de M et de N n'ont pas encore acquis leur forme 

 définitive. Elles renferment trois fonctions arbitraires 6(ti), y(î/) et ^(ii) et 

 devraient n'en renfermer que deux, puisque les équations (8) dont elles 

 sont les intégrales, sont seulement du premier ordre. Mais il est aisé de 

 s'assurer que l'une de ces trois fonctions dépend des deux autres. Car si 

 l'on multiplie l'équation (15) par y. et l'équation (16) par v, et qu'on les 

 ajoute ensuite membre à membre, on trouvera, eu égard à la relation (9), 



(18) ^.^ + /■,.. = 3, 



pour la relation qui lie ces trois fonctions entre elles et de laquelle on 

 pourra tirer l'expression de l'une en fonction des deux autres. D'ailleuis, 

 par la nature de ces fonctions, la relation (18) ne doit renfermer que la 

 seule variable u. Il suit de là qu'en y remplaçant x par sa valeur tirée de 



f{r, y) = u, 



)/ doit en disparaître en même temps. 



Cette conclusion se vérifie dans chaque cas particulier, et peut être re- 



