16 SOLUTION D'UN PROBLÈME 



connue généralement dans ceux où des hypothèses faites sur la composi- 

 tion de jjL et de v permettent d'obtenir les valeurs générales de M et de N. 

 Par exemple, lorsque f* n'est fonction que de x et que v n'est pareille- 

 ment fonction que de y, la première des équations (13) et la première des 

 équations (16) se réduisent à celles-ci 



dû du 

 fidyi ■+■ MJ/^ — (n -1- I ) — . — dx ^ 

 du dx 



dit du 

 xdN -t- ^rfx — (;a + l) — . -_ (/y = o; 

 du dy 



elles ont donc pour intégrales les équations 



do fdu 



M/i — (p + 1 ) — / — dx = y(l() 



(19) \ ''''-' '■' 



dS fdu 

 >x — (p + J) _y — dy = f(î(). 



ajoutant ces dernières équations membre à membre , on obtient 



dû r /Vu rdn -\ 



~ est la dérivée partielle de u par rapport h x; or, d'après ce qui a été 



dx 



du 

 dx 



dit plus haut de l'intégration des équations simultanées (10), lorsque 

 renferme y, il faut en débarrasser cette dérivée en y substituant sa valeur 

 tirée de l'équation (14). Intégrant ensuite par rapport à ic, on a la valeur 

 de j£ dx. On en doit faire de même pour obtenir celle de f~ dy. Il 

 résulte de là que le facteur 



du /^ du 



/nu /^ 



Tx'^-f 



dy 



dy 



n'a pour valeur la quantité u, qu'autant que les variables x et y sont 

 séparées dans ii. Or, comme, par hypothèse, ij. ne contient pas y et que v 

 ne contient pas a;, on sépare les variables dans (/.dy — vdx en prenant 

 jl; pour facteur d'intégration , et les variables sont dès lors pareillement 

 séparées dans son intégiale n. Supposant donc qu'on ait fait choix de ce 



