INTÉGRALES EULÉRIENNES. 9 



pement dans le second membre de l'équation (9) finira toujours par de- 

 venir divergent, quelque grand que soit a; il est d'ailleurs évident que 

 cette divergence commencera à la valeur de m, qui approche le plus de 

 celle qui rend cette intégrale, considérée comme une fonction continue 

 de m, un minimum. Cette dernière valeur, que nous désignerons par n, ne 

 paraît pas facile à déterminer : nous allons prouver qu'elle est comprise 

 entre na et nn -|- 1 > t^^i' 1"^ ^^ ^^l supérieur à l'unité. 

 On a évidemment pour la dérivée de l'intégrale 



los. 



o 



par rapport à ni, en supprimant le facteur 2, 



/"■x°"'dx \ Z^" hs. .rdx I , 1 1 , t 



o 1 



r = » , /^'° loi;;, .rdx I 



y _ / _i X-"' e—-'^"^ 



^r=\ ^-J \+x, \ X 



\—c- — 



1 ir 



Mais pour toutes les valeurs positives de x plus grandes que l'unité, e 

 pour m<riia on a x — | > ^ log. x (*), et par conséquent, 



x"" 



d'où l'on peut conclure que l'intégrale 



/" x^" dx , , 1 



est une quantité essentiellement négative tant que m n'est pas supérieur 

 à m, et par suite que l'on a n > tta. D'un autre côté, en désignant par m' 

 la valeur de m, qui rend lexpression — ^s;^, , considérée comme une lonc- 



(•) Soit i/ = a; — ^ — 2^ !og. x, on aura ^^ = 1 - ^ — ^ = (^— ^)' + 1 — «-■ Si ^ esl 

 plus petit que l'unité, cette valeur de ''j-'_^ sera positive, quel que soit x, et comme on a y = o pour 

 T=^ I , on en conclut que i/ est positif, tant que x est supérieur à l'unité. On a donc avec les 

 mêmes restrictions x '^ ix log, x. 



ToMK XXll. 2 



