INTÉGRALES EULÉRIENNES. S 



En posant a; = e~"*, e désignant la base des logarithmes népériens, et 

 changeant o en 1 -f a, cette équation prend la forme 



(3) 



rf.log.r(l-l-a) _ r" le-^ _ e-M \ 

 d^ J [a e'—l I 



Mais on a, comme on sait (*), 



1 I I 



22 



e^— 1 a 2 ^2 -H ir^z'i 



r étant un nombre entier, et la caractéristique 2 indiquant une somme 

 qui s'étend à toutes les valeurs de r, depuis r = 1 jusqu'à / = ac . 



Substituant cette valeur de -^^—^ dans l'équation (5) , et observant que 



-a p — 112 



/g — a g~ 

 da = log. u , 



il Vient 



d. log. r( I -4- a) 

 da 



1 ^'» «e-a^ 



= 'og- « -^ 5 22 / -^ — — -; dx 



(*) Cette équation se démontre facilement de la manière suivante : 



La décomposition de la fraction ^.„_, , en une somme de fractions du second degré, donne, 

 en employant une notation connue, 



1 1 1 i=n— 1 xcos. — — 1 



-1- - 2 



X*" — 1 n x^ — 1 n r=\ ^i 23;c 



équation qui peut se mettre sous la forme 



1 1 n — 1 1 r = 'i — 1 (x — ]f+x~l 



x'" — 1 n x*—\ 2m n r= i (x — If -4-4xsin.= -^ 



En y faisant j=l -+- ^ , et posant pour abréger "=~ sin. ;^ , on a l'équation 

 1 1 n — 1 r = n—t 2a-i-^ 



5\ 2» ^r=i a'-hAr'!r^u'.T' 



qui, ayant lieu identiquement, quel que soit )) , donne, en égalant les parties indépendantes de ii 

 dans les deux membres , 



1 1 1 r=: « X 



22 



■ 1 a. 2 r=l a=-(-4r''-T= 



