2-2 SOLUTION D'UN PROBLÈME 



L'expression de — se réduit donc à 



r dy dx 



Ce résultat étant introduit dans l'équation de condition (51), en même 

 temps que la valeur (28) de '— et celle de 3,, qui est — , on reconnaît 

 que cette équation est satisfaite. 



Puisque les fonctions jx, v et ii sont telles que la troisième est l'intégrale 

 médiate ou immédiate de l'expression dilTérentielle [^dij — vdx que l'on 

 compose avec les deux autres, on pourrait, au lieu de supposer fj. et v 

 données explicitement, les définir simplement comme les dérivées par- 

 tielles médiates ou immédiates d'une fonction donnée n, en ayant soin de 

 changer le signe de l'une de ces dérivées. J'ai indiqué plus haut la trans- 

 formation à laquelle donne lieu cette manière d'envisager les fonctions 

 fi et >. 



Le problème dont je viens de donner la solution générale suppose es- 

 sentiellement que p est différent de zéro. Lorsque p est égal à zéro, le 

 facteur d'intégration (Mf/.+Nv)'' devient l'unité, et le problème, considéré 

 dans son énoncé, prend le caractère d'une indétermination absolue, puis- 

 que l'hypothèse faite sur la valeur de /), assujettit seulement la différen- 

 tielle Mdx-\-îidy à être une différentielle exacte. Toutefois, les expressions 

 que les formules obtenues plus haut fournissent pour M et N dans ce 

 cas particulier, ont une forme tout aussi déterminée que lorsque p est 

 quelconque. Mais cette singidarité apparente s'explique sans peine; car on 

 reconnaît queMp-j-Nv ne cesse pas d'être une fonction de la seule variable 

 H, comme cela a lieu dans le cas général. On voit donc que les quantités 

 M et N sont encore définies par un nombre suffisant de conditions et que 

 les valeurs qu'en donnent les formules générales lorsque p est nul, sont 

 la solution du problème dont voici l'énoncé : 



« fi et !/ étant, au signe près, les dérivées partielles médiates ou immé- 

 diates d'une fonction donnée u des variables x et y, on propose de trouver 

 deux autres fonctions M et N des mêmes variables, qui soient telles que 



