SINGULIERS DES SURFACES. 9 



laquelle représente une parabole ayant - pour demi -paramètre. Donc 

 si l'on a r > , la surface proposée tourne sa concavité du côté des z 

 positives dans les deux régions DM'D' , f/M'd' et du côté des z négatives 

 dans les deux autres : ce sera le contraire si l'on a r < 0. 



11 est bon de remarquer que les deux droites (D) ne sont autres que 

 les asymptotes de la projection de l'indicatrice sur le plan des xrj. 



7. 3". Soit enfln H — «2= : le paraboloïde osculateur dégénère en 

 un cylindre parabolique qui a toute une génératrice située dans le plan 

 tangent et qui, du reste, est entièrement situé d'un même côté de ce plan. 

 Par conséquent, la surface proposée elle-même tourne sa concavité dans le 

 même sens tout autour du point M ; seulement la courbure est nulle sui- 

 vant la direction de la génératrice du cylindre osculateur, dont la pro- 

 jection sur le plan des xy a pour équation 



Y- !/ = -'^(X-x). 



Supposons d'abord «différent de zéro : en faisant comme au numéro précé- 

 dent, Y = j/dans l'équation du cylindre osculateur, j'obtiendrai la section 

 parabolique (k) qui tournera, ainsi que la surface elle-même, sa conca- 

 vité du côté des z positives si l'on a »• > 0, et du côté des z négatives 

 si y < 0. Dans le cas où l'on trouverait r = 0, il en résulterait s = 0, et, 

 par suite, l étant nécessairement supposé différent de zéro, la section para- 

 bolique (I:) se réduirait à la génératrice du cylindre osculateur. Mais alors, 

 en coupant celui-ci par un plan parallèle an plan des yz, on verrait que 

 le signe de l détermine pareillement le sens de la courbure de la surface 

 proposée. 



Si l'on avait à la fois r = 0, s = 0, t = 0, pour un certain point M de 

 la surface proposée, le plan langent en ce point osciilcrail complètement la 

 surlace. On sait que dans ce cas les deux courbures princi[)ales sont 

 nulles. On pourrait toutefois déterminer la forme de la surface dans le 

 voisinage du point M par le moyen d'une surface paraboldidalc de degré 

 supérieur au deuxième et ayant, avec la proposée, un contact d'un ordre 

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