iO MÉiMOIRE SUR LES POINTS 



marqué par sou degré. Mais nous ne faisons qu'indiquer ici cette méthode, 

 parce qu'elle sort de l'objet principal que nous avons en vue. 



8. Supposons acluollenieut que le plan tangent à une surface se déplace 

 successivement de manière que le point de tangence M parcoure une cer- 

 taine ligne tracée arbitrairement sur la surface. 11 pourra arriver que 

 celle-ci, d'abord entièrement située d'un même côté du plan tangent, se 

 trouve ensuite partie du même côté et partie de côté opposé. Il y aura 

 donc alors un certain point intermédiaire M, où la courbure d'une partie 

 de la surface changera de sens, celle de l'autre partie n'ayant point changé: 

 Nous nommerons tout point tel que M un point d'inflexion p.vrtielle , et s'il y a 

 une ligne de la surface dont les divers points jouissent de la même propriété, ce sera 

 pour nous une ligne d'inflexion partielle. 



9. Cela posé, admettons que pour la surface donnée, la quantité 

 ri — s- soit généralement une fonction continue des trois variables x, y, z. 

 S'il y a inflexion partielle en un certain point M, il faut qu'en deux points 

 voisins, situés dans les deux parties de la surface à courbure difl'érente, 

 les deux paraboloïdcs osculateurs soient l'un elliptique et l'autre hyper- 

 bolique, et que, par conséquent, la fonction vt — s-, d'abord d'un certain 

 signe, devienne ensuite d'un signe contraire. Or, pour changer de signe, 

 il faut que cette fonction passe par zéro ou par l'infini. Donc : Tout point 

 d'inflexion jxiii ici le d'une surface F (x, y, zj = Ot/oif vérifier par ses coordonnées 

 l'une ou l'autre des deux équations H — s^ = ou rt- — s^= <x> . 



Mais la réciproque n'est pas vraie; car pour qu'un point, dont les coor- 

 données satisfont à l'une de ces deux équations, soit un point d'inflexion 

 partielle de la surface proposée , il faut d'abord que ce point soit situé sur 

 la surface elle-même, et qu'en outre, pour deux points très-voisins du 

 premier, et convenablement placés sur la surface, la fonction rt — s^ 

 prenne deux valeurs de signe contraire. 



D'après cela, pour déterminer les points ou lignes d'inflexion partielle 

 d'une surface donnée (1) F(x,ij,z) = 0, on formera la fonction 



■M^.y. -)' 



