SINGULIERS DES SURFACES. II 



et l'on posera les deux équations 



o{x, y, :) = 0, ^{x, y, î) = 0; 



si elles sont l'une et l'autre incompatibles avec l'équation (l), la surface 

 n'admet aucun point d'inflexion partielle. Mais si l'une d'elles, y par exem- 

 ple, est compatible avec (1), le système de ces deux équations représentera 

 généralement une certaine ligne (pouvant se réduire à un point unique) qui 

 divisera généralement la surface en deux régions : si les coordonnées de 

 deux points très-voisins, et situés sur chacune de ces deux régions, 

 donnent pour la fonction rt — s- des résultats de signe contraire, la ligne 

 ou le point ainsi déterminé sera une ligne ou un point d'inflexion partielle. 

 Si au contraire, la fonction rt — s^ i-este de même signe pour tous les 

 points voisins de ceux oîi elle devient nulle ou infinie, ceux-ci ne pré- 

 sentent plus les caractères de l'inflexion partielle; mais ils peuvent offrir 

 ceux d'une autre espèce d'inflexion que nous allons chercher à définir. 



10. Concevons le paraboloide osculateur en un certain point m d'une 

 surface et admettons que le point d'osculation se déplace en suivant une 

 ligne tracée comme on voudra sur la surface proposée, il pourra arriver 

 que, dans le passage d'un point m à un autre m', toutes les courbures du 

 paraboloide osculateur soient devenues de sens contraire, celui-ci étant 

 toujours de la même espèce. Alors il existe nécessairement un point M 

 intermédiaire, où toutes les courbures de la surface proposée changent 

 de sens à la fois, de telle sorte que si, d'un côté, elles sont entièrement de 

 même sens ou bien partie d'un sens et paitie de sens contraire, de l'autre 

 côté, elles sont, après le changement, encore entièrement de même sens 

 ou bien encore partie d'un sens et partie de sens contraire. Nons nomme- 

 rons un point de celte espèce un point d'inflfaion complète et , s'il y u une ligne 

 de la surface dont tous les points jouissent de la même propiiélé , nous l'appellerons 



UNE LIGNE d'inflexion COMPLÈTE. 



11. D'après cela, consich'-rons un point d'inflexion complète; pour un 

 point voisin on aura rt — s^ >0 ou bien ri — .s2< 0, r et t ayant même signe 

 dans le premier cas et même signe ou signe contraire dans le deuxième. J'our 



