12 MÉMOIRE SUR LES POIiNTS 



uti autre point aussi très-voisin, mais situé dans la partie de la surface dont 

 la courbure est de sens contraire, on aura encore ri — s- >0 ou ri — s2< ; 

 seulement ?• et t auront on même temps changé de signe. Donc, quand on 

 passera du premier au deuxième de ces points, il y en aura un intermédiaire 

 pour lequel les quantités r et /, supposées des fonctions continues des va- 

 riables a;, y, z deviendront en même temps égales à zéro ou à l'infini. 



Par conséquent, pour déterminer les lignes ou points d'inflexion com- 

 plète d'une surface donnée , on posera les deux équations r =0, r= oc que 

 l'on joindra successivement à chacune des deux autres t = , l == x> . On 

 obtiendra ainsi divers systèmes, chacun de deux équations, représentant, 

 par conséquent, une ligne qui devra appartenir à la surface proposée, on 

 tout au moins la ronconlrer en un ou plusieurs points. 11 faudra, en outre, 

 que r et t changent de signe en passant par zéro ou par l'infini et que la 

 fonction ?■< — s- reste constamment de même signe pour des points de la 

 surface aussi voisins que l'on voudra de ceux que l'on considère. Nous 

 ajouterons encore que les différentielles partielles du premier ordre p et q 

 ne doivent pas en même temps changer de signe en passant par zéro ou 

 par l'infini, car alors il y aurait bien changement de sens dans la courbure 

 de la surface, mais le point obtenu serait un point timite dépendant de la 

 position des plans coordonnés et non un véritable point d'inflexion. 



12. Appliquons cette théorie des points d'inflexion à quelques exem- 

 ples. Soil d'abord la surface de révolution représentée par l'équation 



(I) F(.r, y, ^) = 2' -4- if — x^ — ax" = 0, 



dont la seclion par le plan des zx a visiblement l'une ou l'aulre des trois 

 formes {{ig. 2j, (1), (2), (5), suivant que l'on suppose a > 0, « = 0, « < 0, 

 On diichiit (le l'équation (1) 



l'our les équations diffi^rpiUiellps du preniipr ordre. . 



Kl |ioiir Cfllos dn dciixirnie ] zs-+-i)q = 



1 i:p — ÔJ!:' — '2ujc = 

 ' '2zq -4- % --= 0. 

 zr ■+■ p'' — 3j; — a = 

 4- /)9 = 



1 rf -,. 1 = 0. 



