SINGULIERS DES SURFACES. 15 



Au moyen de ces équations on obtient aisément 



Pour obtenir les points d'inflexion partielle, il faut poser successivement 



rt s^= 70 et H — s^=0. La première de ces conditions donne 2 = 0, 



ce qui réduit la surface (1) à l'équation i/ — x^ — ax- = 0, qui représente 

 l'intersection de la surface par le plan des xij. Mais en passant par l'in- 

 fini, la fonction j2 — s^ ne change visiblement pas de signe, et, par consé- 

 quent, on n'obtient ainsi aucun point d'inflexion partielle. 



On rendra ri — s^ ^ Q si l'on pose x^ {ôx + ici) = 0, équation qui se dé- 

 compose dans les deux autres x = 0,x= — y 



A la première correspondent, eu égard à l'équation (1), ?/ = 0, 2= 0, ce 

 qui donne l'origine des coordonnées. En efl"et, dans le cas de > 0, la 

 fonction rt — s^ change de signe avec x, et l'origine est un simple poinl d'in- 

 flexion partielle. Le paraboloïde osculateur est elliptique dans toute la por- 

 tion de surface DO et hyperbolique dans la partie AOA'. Quand on sup- 

 pose a = ou bien a < 0, l'origine est un point singulier d'une autre 

 espèce , ainsi que nous le verrons ci-après. 



Quant à la deuxième solution a; = — y , elle est incompatible avec l'é- 

 quation (1) dans le cas de a >0 et donne de nouveau l'origine si a == 0. 

 Mais si l'on suppose < 0, la fonction ri — s^ s'annule et change de signe 

 en passant par zéro pour a; = — f , et d'ailleurs cette valeur de x, sub- 

 stituée dans l'équation (1) donne 1/ -{- z^ = — '^ ■ Ainsi le cercle MiM' , 

 dont le plan perpendiculaire à l'axe des x coupe cet axe à une disliince 

 01* = — y , est utic ligne d'inflexion parliellc. Le paraboloïde osculateur est 

 elliptique dans la portion de surface MCM' et hyperbolique dans la i.ailie 

 AMM'A'. 



Cette même surface n'a aucun point d'inflexion complète, car on iroiivo 

 pour r et t les valeurs 



■i;. (a-i T>x] — (^HX-t-ôj- )' tf -1- z' 



