SINGULIERS DES SURFACES. 15 



li. Soit enflii la surface représentée par l'équation 



(1) F{x , y, 2) = z^ -t- zy- — X ^ 0. 



On en déduit pour les équations différentielles 



« . . ( (3-î' H- y')p — I =0 



Du premier ordre ) 



l (ôz'-y-y')q+'2zy =0 



i{ôz" -i-y')r+(izp- =0 

 {■5z' + y')s+&zpq+ 2/)!/=0 

 , (32'-4-j/')«-i-657'-+-4ç!/-+-2z=0; 

 d'où résultent les valeurs suivantes : 



1 2sf/ 



^ ~ 3i' -h y' ' ' 5z= + y' 



_ 6ï _ 6z'y — '2yi _ &z(y'' — <i.y'z' — '5z*) 



(3z'-t- »/■)'' (az-^-y'f {Zz'-^-yy 



et enfin 



4(33'-?/-) 



ri — s' = ' ^• 



(âz^' + y-)" 



Nous voyons d'abord que la fonction rt — s^ s'annule si l'on pose 02^= if; 

 tandis qu'elle est positive pour tous les points de la surface où l'on a 

 ùz^ > ]p et devient négative pour tous ceux qui donnent "ùz^ < j/^. Par 

 conséquent , si l'on trace sur le plan des zy les deux droites qui ont pour 

 équations y = ± ^ l^S, et que par ces deux droites on mène des plans 

 perpendiculaires au plan des yz, les intersections, de la surface (1) par ces 

 deux plans, seront deux lignes d'inilexion parlietle. 



Si nous faisons 2=0, x = 0, l'équation (1) sera vériflée, quel que soit 

 y. Mais alors les valeurs de r et t s'annulent et changent l'une et l'autre 

 de signe avec z, car on peut supposer z assez petit pour que l'on ait 

 (/' — 2j/^ 3^ — 3 2^' > 0, y étant supposé recevoir une valeur fixe. Dans le 

 même cas, p ne change pas de signe, et la fonction ri — s^ reste négative 

 pour des valeurs de z assez petites, soit positives, soit négatives. Donc, 

 l'axe des y esl une ligne d'inflexion complète. 



