SINGULIERS DES SURFACES. 17 



Lorsque deux nappes d'une même surface seront séparées par un point 

 unique communaux deux nappes, comme le sommet d'un cône, par exem- 

 ple, nous donnerons à ce point le nom de point dejondion. 



Il pourra arriver que l'une des deux nappes de la surface devienne 

 imaginaire, ainsi que cela aurait lieu, par exemple, pour une surface de 

 révolution engendrée par une courbe plane ayant un point de rebrousse- 

 ment et tournant autour de sa tangente en ce point : nous nommerons les 

 points de cette espèce des points saillants. 



16. Nous pourrions considérer encore plusieurs points et lignes des 

 surfaces qui rentrent dans la définition que nous avons donnée des points 

 singuliers. Tels sont entre autres les points ombilicaux, les lignes des courbures 

 sphériques, etc., mais tous les traités donnent le moyen de les obtenir, et 

 d'ailleurs nous n'avons en vue dans ce mémoire que les lignes et points 

 singuliers qui correspondent aux points singuliers des courbes planes , 

 et peuvent se trouver par des méthodes analogues. Or, les méthodes par 

 lesquelles on détermine les points singuliers des courbes, autres que les 

 points d'inflexion, ne s'appliquent en général qu'aux seules courbes algé- 

 briques. Nous supposerons pareillement dans tout ce qui va suivre que 

 l'équation de la surface proposée sera constamment algébrique, entière et 

 rationnelle par rapport aux trois variables x, ij , z,ou pourra être ramenée 

 à cette forme. 



17. Cela posé, commençons par démontrer le théorème fondamental 

 suivant : Les coordonnées de tout point singulier, appartenant à l'une quelconque 

 des espèces que nous avons définies au n° 15, satisfont simtdtanément aux trois 



équations 



rfF (IV (IF 



= 0, — = 0, — =0. 



ilx (llj (Iz 



En effet, soit un point M dont les coordonnées rc,, y,, z,, vérifient l'équa- 

 tion de la surface proposée; si nous transportons l'origine des coordonnées 

 en ce point , et que pour cela nous posions 



j: = j;, -t-Ç, y =^ Ui ■' 1' 2 = 3, -H Ç. 



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