SINGULIERS DES SURFACES. 19 



(j> représentant une fonction réelle qui ne peut être infinie, au moins pour 

 des valeurs de |, ri, ç très-petites. Cela posé, pour tout point m commun 

 à la surface et à la sphère, l'équation (5) sera satisfaite, et réciproquement. 

 Or, le premier membre de cette équation sera toujours de même signe 

 que rR sin. 8, puisque r est supposé aussi petit que l'on veut positif, et 

 que f n'est pas infini. Supposons donc que par le point M on fasse passer 

 un plan normal quelconque, ce plan coupera le plan tangent suivant une 

 droite TT' , et la sphère suivant un grand cercle MTT' {fig. 4.) Soit S un 

 angle aussi petit que l'on voudra , et donnons à 6 les valeurs 



— 0,, -t- 9, yr — 0,, T -+- 0, 2t— Oj.etc. , 



la dernière valeur ramenant au même point de la circonférence que la 

 première. Or, pour chacune de ces valeurs le premier terme de (o) 

 devient 



rR sin. 9, , rRsin.{!r — o,) î'Rsin. (3--4-9J rRsin.(2T — e,), 



et pour tous les points de la circonférence compris entre 9i, et n — e^ 

 rR sin. ô est évidemment positif, tandis que cette même quantité est con- 

 stamment négative pour tous les points correspondant aux valeurs de 6 

 comprises entre Tr-f ôj et Stt — 5,. Donc, le premier membre de l'équation 

 (3) d'abord positif devient ensuite négatif, et, comme il ne peut devenir 

 infini , il passe nécessairement pa»- zéro une ou plusieurs fois entre les points 

 qui correspondent aux valeurs de 0, e, et 2;: — ô, , puis n — 5, et 7t-|-5,. 

 Je dis, de plus, que cette même fonction ne s'annule qu'une seule fois entre 

 chacune de ces deux limites , car en la dilTérentiant par rapport à la varia- 

 ble 0, on trouve 



/ d^\ 



r R COS. -t- r — , 



\ doi 



et, d'après la nature de la fonction y, -^ n'est point infini. C'est donc encore 

 R COS. & qui donne son signe à celle nouvelle fonction. Or, cos. est con- 



