20 MÉMOIRE SUR LES POINTS 



staiiiment positif pour toute valeur de B comprise entre e, et Stt — ô, et 

 constanimcnt négatif pour toute valeur de 9 comprise entre -n — e, et 

 71 + 0,. Donc, l'équation (3) n'a qu'une seule racine comprise entre 6, et 

 2;r — Oi et une seule entre t: — 5i et 7t+ 5,. Ainsi, toutes les fois que R 

 n'est pas nul, la surface proposée ne rencontre le cercle MTT' qu'en deux 

 points inliniment voisins du plan langent. Le même raisonnement s'ap- 

 plique à toute section de la sphère 31 par un plan normal à la surface 

 proposée, et, par conséquent, tout autour de ce point il existe une seule nappe 

 de surface, dont les divers points, suffisamment rapprochés de M, sont infiniment 

 voisins du plan tangent, et situés, ou bien tous d'un même côté, ou bien partie d'un 

 côté et partie du côté opposé de ce plan. Donc enfin , pour que le point M puisse 

 offrir quoiqu'un des caractères de singularité que nous avons définis au 

 n° 15, il faut que les coordonnées de ce point satisfassent à l'équation 

 R^ qui se décompose dans les trois suivantes : 



dV _ rfF _ dF 



djc, dij^ ' dz- , 



Mais il ne suffit pas que les coordonnées d'un point vérifient ces trois 

 équations pour que ce point soit singulier; car il pourrait se faire que ce 

 point n'appartînt pas même à la surface proposée. 



18. D'après cela, pour reconnaître si une surface représentée par l'é- 

 quation 



(») V(^r.,,j,z) = 0, 



que nous supposons algébrique, entière et rationnelle par rapport à 

 chacune des trois variables x, y, z, admet des points singuliers autres que 

 ceux d'inflexion , nous poserons les trois équations 



dF dF dF 



