SINGULIERS DES SURFACES. 21 



qui pourront être incompatibles, admettre un nombre limité de solutions 

 communes, ou en admettre une infinité, l'une d'elles, par exemple, étant 

 la conséquence des deux autres. 



Dans le premier cas, la surface proposée n'admettra aucun point singu- 

 lier de l'espèce que nous avons en vue. Telles sont, par exemple, visible- 

 ment toutes les surfaces paraboloïdales dont l'équation est de la forme gé- 

 nérale 



s = A -t- B.r -H Cy -+- D.c' ■+■ Eif -i- F:ry -i- G.r' -4- -+- Ltj". 



La même conclusion s'applique aux cas où les trois équations (A) ad- 

 mettent un nombre, soit limité, soit infini, de solutions communes dont 

 aucune ne vérifie l'équation (1). C'est ce qui a généralement lieu pour les 

 surfaces du deuxième ordre dont nous avons cité l'équation générale au 

 n° 4.. On déduit en effet de cette équation : 



— = 2(.\x -4- B">j + B's -+- C ) = 

 Uj- 



— = 2(.Vv -t- B'V + Bs -1- C ) = 

 dij 



— = '2{k"z -i- B'i -H By -(- C") = 0. 

 dz 



et l'on sait que ces trois équations, quand elles sont compatibles, déter- 

 minent le cenirc, qui n'est jamais un point de la surface, à moins que 

 celle-ci ne soit un cône, un plan, ou un système de deux plans qui se cou- 

 pent. 



Il est bon d'observer encore que la surface proposée ne peut admettre 

 de ligne singulière (de l'espèce que nous avons en vue), qu'autant (jue les 

 équations (A) se réduisent à ime ou au plus à deux équations distinctes. Au- 

 trement elle ne peut avoir que des points singuliers isolés. 



19, Supposons actuellement qu'en dillérentianl l'équation (1) succes- 

 sivement par rapport à x et à y, on ait formé les équations dillérentielles 



