SINGULIERS DES SURFACES. 23 



ordre, qui, eu égard aux équations (A), deviennent 

 <i'F d'F rf'F 



,„, , rf'F f/F rfF rf'F 



^ dxfiy^ dtjfiz, dx,dz^ dz, 



d'F d'F d'F 



"yr dy,dz, dz^ 



Nous avons maintenant plusieurs cas à examiner suivant que ces trois 

 équations seront incompatibles ou bien donneront pour p et q des valeurs 

 réelles égales ou inégales, ou bien des valeurs imaginaii'es. 



20. Les trois équations (B) seront incompatibles , si en éliminant p el q 

 entre elles, on parvient à une équation qui ne soit pas identique. Or, l'éli- 

 mination de q entre (/),) et (6,) conduit à une équation qu'on peut écrire 

 sous la forme suivante : 



\ dz,' "^ dx,dz,ILd,j-' dz; \dy,dz,l ] fhj;\d.r,dz,l dz;[di,dy, 



d F_ r/F dT 



dsc^dy^ dy^dz^ rfr.rfs, 



et si l'on élimine p entre celle-ci et (6), l'on a : 



d'F I dF y dF d'F d-F 



dz;\dr,dyj d.v^ dy^ rfs,' 



d F d'F dF 



0. 



'^■^,'^!/, f/y,<^-, dx,dz. 



Par conséquent, si l'on n'a pas entre les coordonnées Xi y^ Zj du point 

 M la relation identique D=0, les équations (B) sont incompatibles, et il 

 s'agit de démontrer (jue le point M ne peut être qu'un point conjugué ou 

 bien un point de jonction et d'établir un caractère de distinction entre 

 ces deux espèces de points singuliers. 



Or, d'après les hypothèses admises, l'équation (2) de la surface du n" 17 



