SINGULIERS DES SURFACES. 25 



21. Dans le premier cas, il est assez évident que le point M est un point 

 conjugué de la surface donnée. On peut, du reste, le démontrer directement de 

 la manière suivante. Concevons en effet que l'on rapporte l'équation de la 

 surface donnée aux mêmes axes de coordonnées pour lesquels l'équation 

 (L) prend la forme (L') ; on sait que pour cela il suffirait de remplacer dans 

 l'équation (/) |, -r,, 'c, par des fonctions linéaires de ?', );', Ç', et par conséquent, 

 en désignant par Fj (|', >;', S') le premier membre de cette équation, on 

 aurait : 



F,(r, ^', ç') = J (x'Ç" + A'V + A'"?")' + etc 



tous les termes suivants étant au moins du troisième degré. Les trois va- 

 leurs de \ étant supposées de même signe , nous pouvons poser 



a' = ± o' , a" = d= 6' , A'" = =b c' 



et admettre que c soit le plus petit des trois nombres a, b, c. 



Cela posé, pour un point quelconque m de la sphère de rayon r infini- 

 ment petit, supposée rapportée aux mêmes axes, nous aurons 



j. -- J. JQ5 ^ . >(;=,■ COS. o, ; = r COS. y y 



et pour les points communs à la surface et à la sphère il viendra 



± -' r' [iC COS. '.: -4- h~ COS. 'f -i- c' cos. V) ■\- c^^ = 0, 



ç> représentant une fonction qui ne peut devenir infinie, quelque valeur 

 qu'on attribue aux angles a, 6, -/. D'ailleurs, en vertu de la relation 

 COS. ^a + COS. 2g + cos. 7=1, l'équation précédente devient 



db \ r" \e -t- (a' — c ) COS. 'a -h («'' - V) cos. ■=] -i- )■'- = , 



et l'on voit que cette équation est impo.ssible, r étant supposé assez petit, 

 quelque valeur qu'on attribue aux angles a et 6. Car le premier membre a 

 loujouis même signe que son premier terme, lequel ne peut changer de 

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