SINGULIERS DES SURFACES. 27 



(fig. 6). De plus on a 



dF . do 



— ■ = =b K' r" sin. 2y -i- r' —^ , 

 rfy (/y 



et l'on voit que la dérivée —7 , constamment de même signe que ± sin. 2y 

 ne peut s'annuler ni changer de signe pour aucune valeur de y comprise 

 entre ces mêmes limites. Il résulte de là que F, s'annule tuie seule fois 

 pour chacune de ces valeurs , et par suite le rayon r de la sphère auxi- 

 liaire étant supposé assez petit, tout grand cercle dont le plan passe par 

 l'axe du cône coupe la surface proposée en quatre points, que l'on peut 

 considérer comme infiniment rapprochés des génératrices du cône, situées 

 dans ce même plan. Donc : le point M est un point de jonction tel que deux 

 nappes de la surface viennent se terminer en ce point et sont touchées par un dou- 

 ble cône qui a ce même point pour sommet. 



En résumé : Soient Xj y, Zj les coordonnées d'un certain point M qui, 

 déduites des équations (A), satisfont aussi à l'équation de la surface (1) : On for- 

 mera f équation (L,) dont nous supposons le dernier terme D différent de zéro; si 

 cette équation n'a que des variations ou que des permanences , le point M sera un 

 point conjugué, tandis qu'il sera un point de jonction si cette même équation admet 

 à la fois des permanences et des variations. 



25. Supposons actuellement que les coordonnées a, y, i, du point M 

 satisfassent à la relation D = 0, ol prouvons que, dans ce cas, le premier 

 membre de l'équation (L) peut toujours être décomposé en deux facteurs 

 du premier degré de la forme 



p,p' Qiq, q' étant les racines des équations (b) et (b.^). En effet, j'identifie 

 avec le premier membre de (L) le produit 



(?— Af-B,){Ç-A'Ç — B'>î)=r-(A + A')K— {B+B')ÇH-A'ArH-(A'B-t-B'A)f., + BBV. 



ce qui fournit entre les quatre quantités A, A', B et B' les cinq relations 



^ dF d'F rf'F d'F d'Y d'F 



2t-7- = — 7— 1'^+'^'). 2-—- = (B-+.B' , 2 -— -- = -- (AB' + BA') 



di,dz, dz,'^ ' dij^ds, ds,'^ ' dx,d,j, dz^ ' 



dV dV rf'F dV 



-= AA' = BB'. 



dx,' dz,' dy,' dz," 



