SINGULIERS DES SURFACES. 29 



et nous avons actuellement à examiner trois hypothèses suivant que les 

 équations (b) et (Z»,) donneront pour p, p' et q, if deux systèmes de valeurs 

 réelles inégales, réelles égales ou bien imaginaires. 



25. Supposons d'abord que l'on ait deux systèmes distincts de valeurs 

 réelles de p et q, en égalant à zéro le premier terme de l'équation (/",), on 

 aura deux plans 



qui seront tangents à la surface proposée au point M supposé pris pour 

 origine des coordonnées. Je dis de plus que : 



Celle sujface se compose de deux nappes qui se coupenl au point M el s'étendent 

 tout autour de ce point, avec ou sans inflexion, en reslanl chacune infiniment rap- 

 prochée de son plan langent, au moins pour tous les points assez voisins de M. 



En effet , soit d la distance d'un certain point m de la sphère auxiliaire 

 de rayon r, au premier plan tangent (P), et rf, la distance d'un autre point 

 r«, de la même sphère au deuxième plan tangent (P,) , on aura 



Si nous nommons l'angle du rayon om avec le plan (P) et 6' celui de 

 om^ avec le plan (P'), nous aurons 



cl = r sin. t), et d^ = r sin. o', 

 et par suite 



Ç — ;;i — (/^^ )R sin. et ? p'I; — q'>i = rVt! sm. </ , 



en posant 



D'après cela, les points communs à la surface proposée et à la .sphère 

 auxiliaire seront donnés par les valeurs de et 0' qui satisferont ;'i 

 l'équation 



- lïIVr' sin. « sin. '/ i- r'v = 0, 



2 rfs,' ' 



