50 MÉMOIRE SUR LES POINTS 



y étant toujours une fonction réelle et finie , quelque valeur qu'on attribue 

 aux angles ô et 6'. i\Iaintenaut, en raisonnant exactement comme nous avons 

 fait sur l'équation B du n° 17, on verra que le premier membre de 

 l'équatiou précédente s'annule pour une valeur unique de 3 comprise entre 

 9, et 2 îT — 6,, puis pour une deuxième valeur comprise entre t: — 6, et 

 - + ôi- f-'G même raisonnement s'applique h. 6' , et le théorème se trouve 

 ainsi complélenicnl démontré. 



2G. Admettons maintenant que les valeurs de p, déduites de l'équation 

 (h) soient égales, que celles de q tirées de (b^) le soient pareillement, et 

 introduisons les hypothèses p = p'etq = q' dans les formules précédentes, 

 nous aurons pour tous les points communs à la surface proposée et à la 

 sphère auxiliaire la relation 



i df 

 F, = - • R'r' sin. '6 ■+- H» = 0. 



2 dz,' 



On voit que pour toute valeur attribuée à l'angle 6, le premier terme 

 de la fonction Fj reste constamment de même signe et s'annule pour les 

 valeurs de 5, 9 = 0, C = tt. Par conséquent, l'équation F, = admettra 

 uti nombre pair ou nul de racines réelles comprises entre -j- Si et 2?: — 6,, 

 ainsi qu'entre ;: — ô, et tt + â,. D'ailleurs, on a 



dV, \ rf'F dp 



• — = R'r' sin. 2o + r^ -- , 



de 2 dz," dS 



et par suite l'équation ~t^= admet évidemment une seule racine com- 

 prise entre 29, et 2n — 29, et une seule entre t: — 2c, et ?: + 29,. Donc, 

 l'équation F, = aura deux racines ou bien n'en aura micune comprises, 

 soit entre -j- 9, et 2r — 9,, soit entre t. — 9, et - + 9,, l'angle 9, étant 

 toujours supposé aussi petit que l'on voudra. Il en résulte que : le point M 

 apparlienl (jénéralcmml à deux imppes de surface qui, ayant même plan tangent, 

 admettent entre elles un contact du premier ordre. Ces deux nappes peuvent 

 s'étendre en même temps l'une et l'autre tout autour du point M, ou bien 

 elles s'étendent l'une et l'autre seulement dans un sens et sont limitées 



