52 MEMOIRE SUR LES POINTS 



Or, le premier (erme de la fonction F, , qui donne toujours son signe à 

 la fonction elle-niênie, r étant supposé infiniment petit, ne peut évidem- 

 ment changer de signe, mais il s'annule pour les valeurs cos. « = 0, 

 COS. e = 0. En substituant ces valeurs dans la relation cos. -a -]- cos. "S 

 + COS. -'/=[, on a cos. y = ± 1 , et par suite ^ = et y = ti. 



D'ailleurs, en remplai^ant cos.' S par sa valeur, déduite de cette même 

 relation . dans F' , on a 



F' ^ ± r'[{a' — 6') cos. '« -4- b' sin. 'r] -t- r^'f- 



Cela posé, pour toute valeur de l'angle a qui rendra cos. 'a infiniment 

 petit, on démontrera, comme au numéro précédent, que l'équation F' = 

 ou bien n'admet aucune racine réelle, ou bien en a deux correspondan- 

 tes à certaines valeurs de y comprises entre + ^i et 2 tt — 7, ou entre 

 ît — y, et TT -j- yi, ou bien deux correspondantes à ces deux premières 

 limites et deux autres correspondantes aux secondes. Le point M sera donc 

 un point conjugué, un point saillant ou un point de jonction. Dans ce der- 

 nier cas, les deux nappes auront une simple droite pour tangente com- 

 mune au lieu d'un cône comme au n° 22. 



En résumé : Lorsque les coordonnées Xj y, z, du point M satisferont à la rela- 

 tion D = 0, on, qu'en d'antres termes, l'équation (L,) aura nne de ses racines 

 nulles, il pourra se faire que celte même équation ail ses deux autres racines diffé- 

 rentes de zéro toutes deux de signes contraires ou de même signe , ou bien qu'elle 

 n'admette qu'une seule racine difléj'enle de zéro; 



Dans le premier cas, il y aura deux plans tangents distincts et par suite deux 

 nappes de surface se coupant et s'étendanl chacune tout autour du point commun 

 M, lequel appartiendra généralement alors à une ligne multiple proprement dite; 



Dans le deuxième cas, les deux plans tangents seront imaginaires, et le lieu des 

 tangentes à la surface se réduira à ime droite imiqiie; le point M pourra être un 

 simjilc point conjugué, un point saillant ou un ]ioint de jonction. 



Enfin , si l'équation (L,) n'admet qu'une seule racine dijfércnle de zéro , il y aura 

 généralement en M un plan tangent unique, et la surface pourra se réduire encore à 

 un simple point conjugué ou bien offrir deux nappes tangentes entre elles et s'élen- 



