SINGULIERS DES SURFACES. 55 



(tant tout autour du point M, ou bien s'étcndant seulement dans un sens et limitées 

 dans le sens opposé. 



28. Passons à quelques applications. 



Pour la surface que nous avons considérée au n» 1 2 



F(.T, If, z) ^ z' -^- y' — .r^ — ax'' = 0, 



les points multiples sont donnés par les trois équations 



dF f/F e/F 



— = — (ôx -f- â«)i' = 0, — = % = 0, — = 2; = 0. 

 aM aij dz 



Ce système 2« + ^* = 0? y = 0, j; = est visiblement incompatible 

 avec l'équation de la surface , à moins que l'on ne suppose « = ; mais 

 alors on a x = et, par conséquent, il ne reste à considérer que le seul 

 système r = 0, y = 0, ; = 0. 



Or, pour ces valeurs de x, y, z, on trouve 



d'F d'F (/'F rf'F d'V d'F 



dx' dif ' dz' ' dxdz ' dydz ' djdy 



et par suite l'équation (L,) du n° 20 devient 



/.3 - (4 — 2a) A' H- (/t — 8») A -t- 8a = 0. 



Si l'on suppose « < 0, cette équation n'a que des variations, et, par 

 conséquent, l'origine est un point conjugué de la surface. 



Dans le cas de a > 0, l'écpation précédente a toujours une perma- 

 nence, et, par conséquent , l'origine est un point de jonction. 



Enfin, si l'on suppose a = 0, cette équation devient 



A' — 4a -I- /* = 0, 



et admet deux valeurs de 1 égales à 2. Pour achever de déterminer, dans 

 ce cas, la forme de la surface dans le voisinage de l'origine, je lais dans 

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