54 MÉMOIRE SUR LES POINTS 



l'équation 1" 



j- = r COS. 3 , 'j == r COS. S, s = ;■ ces. y , 



ro qui me donne, pour déterminer les points communs à la surface et à 

 la sphère de rayon r, 



r' (COS. 'a -+■ COS. "S) — r' cos. '.i = , 

 ou simplement 



sin. 'a — r cos. ';e = , 



équation qui admet deux, et seulement deux valeurs de l'angle « com- 

 prises entre a, et 2z — a,, a, étant aussi petit que l'on voudra, et cela quel 

 que soit l'angle y. Donc, la surface n'a qu'une seule nappe tangente à 

 l'axe des x positives tout autour de cet axe, et l'origine est un point 

 milan I. 



2° Soit la surface représentée par l'équation 



V [x , y , z) = cCz^ -t- i* -t- x^if — «'.t' = 



qu'on obtient en cherchant : le lieu des points de l'espace pour lesquels l'or- 

 donnée z est à celle de la splière correspondante aux deux mêmes abscisses x eî y, 

 comme l'abscisse x est au rayon de la sphère. 



Pour obtenir les points multiples , nous posons les trois équations 



df d? dF 



— = 2f('5 = 0, — = -i,r3 — 2n'x -i- 2i/'.r = , — = 2x1/' = , 

 dz dx ■' dij "^ 



lesquelles sont visiblement satisfaites par le système .t = , s = et i/ 

 quelconque, système qui satisfait aussi à l'équation F= 0. D'ailleurs on 

 trouve pour ces valeurs de x, j/, : 



fi'F ^ (/F rt'F 



et par suite l'équation (L,) devient simplement /,- — «-= 0, et donne les 

 deux valeurs /=-)-«, 1 = — a, qui sont de signe contraire. Ainsi, l'axe 



