SINGULIERS DES SURFACES. 35 



des y est une ligne multiple suivant laquelle se coupent deux nappes distinctes de 

 la surface. 



De plus , on a pour les équations dilTérentielles du deuxième ordre 

 de F 



Gx' ■+- y" — (/,' -1- a'p" ■+- a''zr = 

 2ary -t- a-pq -+- a'ss = 

 x' ■+- ifq" -4- u'^( = , 



qui deviennent, quand on y suppose x = (), z=0 ety quelconque , 



f- — a- -t- ap^ = 0, (Cpq = 0, a'q' = 0, 



et donnent : 



/jf =: avec ;j = ± \/ ! — , 



ce qui détermine les deux plans tangents en un point quelconque de l'axe 

 des !/. 



3" Considérons encore la surface suivante : 



y{x,,j,z) = [z~x--Y - [x-yf = {). 



Nous en déduirons d'abord 



d? dï d? 



~=-<±(z-x')-^x-y)'', —=^x-yY, =2(2_.r'), 



ax dy dz 



équations qui sont vérifiées, ainsi que l'équation F elle-même, si nous 

 posons z= X-, y = x. 

 Or, on a généralement : 



d'F d'f rf'F 



— =ij[z-x')-'ÎO(x-y), _=_20(r-,/)^ — = 2 

 ax dy riz 



d'F d'f rf'F 



dxdz dxdz ilydz 



