56 MÉMOIRE SUR LES POINTS 



et pour les valeurs z= x^, ij —x on a 



d'F d'V _ d'F _ ^ '''''_ — — — - 



rfj' ' «/y' ' dz' ' dxdz ' dxdz ' dydz 



Par suite roqualion (L,) devient 



A — 2 = 0,' 



et n'admet qu'une seule racine différente de zéro. Il y a donc en chacun 

 des points de la ligne déterminée par les deux équations 2 = x-, y = xnn 

 plan tangent unique, et il est facile de reconnaître que cette ligne est une 

 ligne de rebroussement de deuxième espèce. 

 En effet, l'on déduit de l'équation F 



z = s^±{.T-yr y(.r-y), 



et l'on reconnaît que la surface se compose de deux nappes qui sont 

 réelles pour toute valeur de y < ic , et imaginaires pour y > x. On trouve 

 pour les équations différentielles du deuxième ordre 



2(3 — 1') (r — 2)-t- 2(/) — 2x)' — 20(a: — y)3 = 

 2(i— jr') s-t- 2(/ (;J — 2a:) + 20(a: — y)3 = 

 2{z- x') t -i-<2q' — 20(i- — 2/)' = 0, 



qui deviennent dans le cas présent, 



(/)-2j')' = 0. 27(;j--2.r) = 0, Iq' = , 



et par suite le plan tangent a pour équation 



Z — x' = 2^(X — x). 



D'où résulte pour la différence des ordonnées i et Z de la surface et du 

 plan tangent en un point quelconque de la ligne en question, correspon- 



