SINGULIERS DES SURFACES. 37 



dantes à une même abscisse X 



= — Z = {X — J.-)' ±(X — .r)'K'(X — :r). 



Par conséquent, au moins pour X assez peu différent de x, on voit que 

 les deux valeurs de 2 — Z sont essentiellement positives , d'où résulte que 

 les deux nappes de la surface sont l'une et l'autre situées au-dessus de 

 leur plan tangent commun. 



29. Dans tout ce qui précède, nous avons admis que le système de 

 valeurs a;, iji 3, que nous avons supposé déduit des équations (A), ne ren- 

 dait pas les équations (B) toutes les trois en même temps identiques. 

 Admettons actuellement que ce système de valeurs satisfasse à toutes les 

 équations : 



r-Y d'ï d'V rf'F r/T rf'F 



dx'' dy" dz' dxdz dtjdz dxdy 



Alors, pour déterminer p et q, on aura recours aux équations différen- 

 tielles du troisième ordre (4j du n° 19, qui, eu égard aux hypothèses 

 admises, deviennent : 



d^T cPV 



(C). 



d^F d^F d^F d^F 



d^F d^F r/'F f/3F 



9' -I ^) H- 2 pq + pq = 



dx^dz,' dy/dz, dy^dz/ dz,^ 



d'F d^F , 



''y.'</^, ''l/,''^,'' d 



, 3 



D'après ces mêmes hypothèses , l'équation (2) de la surface du n" 1 7 

 devient 



t I d-'F o'F (/■■'F d^F <PF rf»F rf'F 



3 \dx,^ dy,' dz,^ dx^dz,' dy,dz,^ dx/dz, dy^'dz, 



_ d'F d'F </-iF \ I / r;«F \ 



dx,'dy, di^dy/ dx.dy^dz, / 4 \dx,-' I 



