SINGULIERS DES SURFACES. 39 



Les six premières montrent que les valeurs de A, A', A" sont les 

 racines de l'équation (C), et que celles de B, B', B" sont les racines de 

 l'équation (C3). 



D'ailleurs , si l'on multiplie respectivement les équations (9) par l'unité , 

 (7) par A, (4) par A^, (2) par B, (1) par 2AB, et qu'on les ajoute, on 

 obtient après quelques réductions : 



rfSF d'F d^F rf'F d'¥ rf'F 



2.\ — -4- A' - — -— -+- B — + 2.VB : + A'B 



dj\'dij, d.i\dij^dz^ dy/lz^' dx^'dz^ dx^dz^' (/;,' 



On trouve pareillement en multipliant (8) par l'unité, (7) par 2B, (1) 

 par B-, (5) par A, (4) par 2AB, ajoutant et réduisant 



rf'F d'^T rf'F rf'F rf'F d'-T 



2B — — -f- B' -— + A , -1- 2AB • + AB' =0, 



dx,dy^^ d:i-,dy,dz, du:,dz,' dy,'dz., dij,dz,' dz, 



équations qui ne diffèrent de (Cj) et (C3) qu'en ce que p etqy sont remplacés 

 par A et B. On pourrait visiblement changer dans ces équations A et B 

 en A' et B', puis en A" et B", d'où résulte que : 



Pour (juc l'équation (S) soit décomposable en trois facteurs du premier detjré de 

 la forme (S,), // faut que chacune des trois racines de l'éqtwlion (C) jointe ù l'une 

 de celles de l'équation (C3), vérifie simultanément les équations (C,) et (C,). 



Réciproquement : Si deux des systèmes de valeurs de p et q, déduites des équa- 

 tions (Ci) et (C:j), satisfont aux équations (C,) et (C2), le troisième système satisfera 

 aux mêmes équations, et le premier membre de (S) sera décomposable en trois fac- 

 teurs du premier degré. 



En effet, soient p , //, p" les trois racines do l'équation (C), </, 7', 7" celles 

 de (C3), nous admettons qu'on a les deux relations 



rf'F d^? rf'F rf'F (/'F f/'F 



(CJ ■ ■ ,, 1- 2 - p + ■ ; /)'-(■ -T-rr ? + 2 ,^ m -*- j-, PH == 



"^1 "ïi "•'"i"yi"-i ''i/i'/^i dx^ds^ dj\d:/ dz,' 



(/'F rf'F d>V rf'F dH' (/'F 



dx,dy dx,dij,dz, dij,dz, dx^ds, dx^dz/ dz,' 



