SINGULIERS DES SURFACES. 7 



Examinons successivement les trois hypothèses : 



rJ - s" > , r( - s'- < , r( — s' = 0. 



jo Soit rt s2 > 0. Le paraboloïde osculateur est elliptique, et, par 



conséquent, se trouve, ainsi que la surface proposée elle-même , entière- 

 ment situé d'un même côté du plan tangent commun tout autour et dans 

 le voisinage du point M. Donc les courbures de toutes les seclions planes de tu 

 surface, et par suite de la surface elle-même, sont dirigées dans le même sens au 

 point M : reste à distinguer si c'est du côté des z positives ou du côté 

 des z négatives. Or, le paraboloïde (2) a son axe parallèle aux ordon- 

 nées z, et l'on sait que si l'on coupe un paraboloïde elliptique par un plan 

 parallèle à l'axe, la courbe d'intersection est une parabole dont la conca- 

 vité est toujours tournée dans le même sens que celle de la surface. Soit 

 donc fait Y = y dans l'équation (2), on aura l'intersection du paraboloïde 

 osculateur par un plan parallèle au plan des xz et passant par le point M. 

 L'équation de cette section sera 



a 



et peut se mettre sous la forme suivante : 



pY 2 /,, 1>' 



X_x+ - =- Z— : + — 



r 



2 



Celte parabole ayant son paramètre égal a -, on voit que : la surface 

 proposée tourne, tout autour du point M, sa concavité du côté des z positives ou 

 bien du côté des i négatives suivant que l'on a r > ou bien r < 0. D'ailleuis 

 la relation rt—s"' > exige que r et ( soient de même signe, et, par 

 conséquent, le signe de r et celui de l sont également propres à donnei- 

 le sens de la courbure de la surface tout autour du point que l'on con- 

 sidère. 



G. 2". Supposons H— s^ < 0. Le paraboloïde osculateur est hyperbc;- 

 lique, et, par conséquent, il coupe, ainsi que la surface proposée ..lie- 



