6 MÉMOIRE SUR LES POINTS 



cylindre parabolique si ri— s- = et se confondra avec le plan tangent, 

 quand on aura siniultanoinonl rt — s- = 0, etr +« = G, ce qui suppose 

 séparéuienl »•= 0, s = 0, / ^ 0. 



On peut aussi arriver à la même conclusion d'une autre manière. Soit 

 i la distance du plan tangent à un deuxième plan parallèle, celui-ci aura 

 pour équation 



(P) Z-,-=-;}(X - oc) -4- 9(Y — )/) -t-c/l/l-tp' -4-9'; 



et si nous éliminons Z entre cette équation et celle du paraboloïde oscula- 

 teur (2), nous aurons 



(P). . . . 2J|/|-4-/J* + ç' =r{X— X)' -^2s(X— .r) (Y— »/) + ((Y— »/)', 



équation qui représente la projection sur le plan des XY de la ligne d'inter- 

 section du plan (P) et du paraboloïde (2). Or, suivant que cette ligne 

 sera une ellipse, une hyperbole ou un système de deux droites, le para- 

 boloïde osculateur sera elliptique, hyperbolique ou cylindrique : on est 

 donc ainsi ramené à l'énoncé précédent. 



Si l'on suppose X et Y inflniment peu différents de x et y, tJsera un infi- 

 niment petit du deuxième ordre, et l'équation (P) représentera la projection 

 sur le plan des XY de l'indicatrice, ou cette courbe elle-même si l'on sup- 

 pose le plan des XY parallèle au plan tangent. 



5. En joignant aux propriétés de l'indicatrice les valeurs des rayons de 

 courbure, on détermine facilement la forme de la surface proposée tout au- 

 tour du point quelconque M. Mais on parvient au même résultat par le 

 seul paraboloïde osculateur, et, au moyen des sections planes de cette 

 surface on peut déterminer le sens précis de la courbure de chaque portion 

 de la surface proposée, détermination qui nous est nécessaire pour la défi- 

 nition des points et lignes d'inflexion, et qu'on ne peut effectuer en géné- 

 ral par les rayons de courbure, attendu que leurs valeurs sont affectées 

 d'un radical commun dont le signe ambigu ne permet pas de distinguer 

 le sens absolu de la courbure des sections principales. 



