SINGULIERS DES SURFACES. 5 



nous aurons pour son équation (voyez la note première) : 



(2) . . z— -- =/>(X— .r) -+- 9(Y-!/) + - (X— a;)' + s (X— x) (Y-y) + -Çi—yY- 



X, Y, Z représentent les coordonnées courantes et x, y, z celles du point 

 d'osculation M. 



4. Pour discuter complètement l'équation (2), comparons-la à l'équation 

 générale des surfaces du deuxième degré 



Ax' -H A'y' + A"^' + 2B!/; h- 2B'xj -h 2B"j;i/ + 2C.a; -t- 2C'»/ -h 2C"r -t- D = , 



ce qui nous donne 



S.= r, A' = (, A"=0, B = 0, B' = 0, B" = s , etc. , etc 



Or, on sait que le genre et l'espèce d'une surface du deuxième ordre 

 dépendent de la valeur des racines de l'équation du troisième degré 



;,3 _ (A ^ A' + A") A' -*- (AA' + A.V + A'A'- — B' — B'= — B"') A — (AA'A" -.- 2BB'B" 



— AB' — Â'B" — A"B"' ) = , 



et, pour la surface (2), cette équation devient 



}}— ()■ -^-l)X' ^ (;■( — s')A = 0. 



La racine ).= montre, si déjà on ne le savait, que la surface (2) est un 

 paraboloïde. Les deux autres valeurs de l seront données par l'équation 



(;.) >:• — (r + i)y^ + n — s' =iO, 



et l'on sait que le paraboloïde osculateur sera elliptique ou hyperbolique 

 suivant que les deux lacines de l'équation (X) seront de même signe ou de 

 signe contraire. Par conséquent : le paraboloïde osculalcur à une surface en un 

 point quelconque x, //, 2, sera elliptique ou hyperbolique, suivant que l'on 

 aura jiour ce point rl—s^ > 0, ou »/ — s-^ < 0; il dégénérera en 



un 



