.1 MÉMOIRE SUR LES POINTS 



tout autour d'un point M, pris comme on voudra sur cette surface. On 

 sait comment M. Dupin a ramené cette question à la discussion de la 

 courbe rcmarcpudtlo à laquelle il a donné le nom (ïimlicalrice. 



Nous allons toutefois exposer, avec quelques détails, une méthode un 

 peu différente qui nous donnera , sous ce rapport , les mêmes résultats , et 

 nous fournira d'ailleurs plusieui'S principes immédiatement applicables à 

 l'objet que nous avons en vue. 



~y. Soi! une surface quelconque représentée par l'équation 



m F(a;, y, --^) = o, 



entre les coordonnées rectilignes a;, y, z, que nous supposerons toujours 

 rectangulaires. Concevons qu'en un certain point M, pris comme on 

 voudra sur cette surface, on en ait construit une deuxième 



(2) f{x, y, -') = 0, 



ayant avec la première un contact de l'ordre n. Non-seulement on peut, 

 comme on sait, substituer la deuxième surface à la première pour ce qui 

 concerne tous les points suffisamment voisins de M, mais aussi la forme 

 et la nature même de la surface (2) dépendent nécessairement des parti- 

 cularités qui affectent la première au point commun, et, par conséquent, la 

 discussion de celle-ci pourra nous faire connaître la forme de la proposée. 

 Or, en chaque point M d'une surfiice, il existe en général une inflnité de 

 surfaces du deuxième ordre osculatrices à la première, et ayant, par con- 

 séquent, même courbure en ce point. Parmi toutes ces surfaces oscula- 

 trices nous choisirons le paraboloïde qui se trouvera complètement déter- 

 miné si nous l'astreignons en outre à la condition d'avoir son axe 

 conslannncnl parallèle aux ordonnées 2 de la surface proposée. Nous 

 nommerons celte surface osculatrice le paraboluide oscillateur, et si, pour 

 abréger, nous posons, suivant l'usage, 



_ rfi _ (1: __ (fz _ rf'; _ d'z 



(Ijc' dij' dx'' dxdy' dy''' 



