42 MÉMOIRE SUR LES POINTS 



Par conséquent, les coefficients A et B du facteur Ç — A ^ — B>; sont un 

 certain systi-nio do racines des équations (C) et (C3). Je dis que ces mêmes 

 racines satisfont aussi aux équations (C,) et (C,). 



En effet, je multiplie respectivement (8) par l'unité, (9) par A, (5) par A", 

 (4) par B, (6) par 2AB et j'ajoute membre à membre, ce qui me donne, 

 toute réduction faite : 



fPF d'F fi'F '/'F 



équation qui ne diffère de (C,) qu'en ce que p etq y sont remplacés par A 

 et B. On verrait de même que A et B satisfont à (C,). Donc : Si un seul des 

 sijslèmes de valeurs de p et q déduites des équalions (C) el (C3) vérifie les équations 

 (C,) el (C,), l'équation (S) représentera un plan et un point ou bien un plan el un 

 cône du deuxième degré. 



Dans le premier cas , le point M sera mi point conjugué relativement à 

 deux nappes imaginaires et sera situé sur une nappe réelle et simple. Dans 

 le deuxième cas , ce sera un point de jonction de deux nappes distinctes qui 

 sera pareillement situé sur une troisième nappe. On distinguera d'ailleurs 

 facilement ces deux cas l'un de l'autre : pour cela il suffira de diviser le 

 premier membre de l'équation (S) par le facteur ^ — //| — qy; et de cher- 

 cher, ainsi que nous l'avons expliqué au n" 22, si le quotient représente 

 un point ou un cône. 



52. Si aucun des systèmes de valeurs de p et q déduites des équa- 

 tions (C) et (C3), ne satisfait aux équalions (C,) et (C,), l'équation (S) sera 

 indécomposable en facteurs plus simples et, par conséquent, représentera 

 évidemment un cône du troisième degré. Le point M sera un point de 

 jonction du troisième ordre. Dans le voisinage et tout autour de ce point, 

 la forme de la surface sera donnée par celle des deux nappes du cône 

 dans le voisinage de son sommet. 



3ô. Revenons au cas où les équations (C) 01(63) fournissent trois systèmes 

 de valeurs de p et q qui vérifient tous les trois les équations (G,) et (C,) et 

 obsenons que ces trois systèmes peuvent être réels el distincts ; que deux 



