SINGULIERS DES SURFACES. 45 



peuvent être égaux, le troisième étant différent; qu'ils peuvent être tous 

 les trois égaux entre eux; et qu'enfln, il peut y en avoir deux imaginaires. 



Dans le pi-emier cas, on aura trois plans tangents distincts et l'on dé- 

 montrera par un raisonnement analogue à celui du n" 25, qu'à chaque plan 

 tangent correspond une nappe unique de surface qui s'étend avec ou sans in- 

 flexion dans le voisinage du point M et tout autour de ce point. 



Si des trois systèmes de valeurs de p et q il y en a deux réels et égaux, 

 le troisième étant différent , on démontrera en raisonnant toujours comme 

 nous avons fait aux n°* 24 et suivants, que la nappe de surface qui corres- 

 pond au plan tangent 'ç — pi — (//,== s'étend tout autour du point M avec 

 ou sans inflexion, tandis qu'au second plan tangent (Ç — p'c, — q'rif =0 

 peuvent correspondre un simple point conjugué , ou deux nappes distinctes 

 ayant entre elles un contact du premier ordre et s'étendant l'une et l'autre 

 tout autour de M, ou bien s'étendant seulement dans un sens et limitées 

 dans le sens opposé. 



Lorsque les trois systèmes de valeurs de p et 7 seront égaux entre eux , il 

 n'y aura plus qu'un seul plan tangent Ç — p'î — q-n= 0, et l'équation de la 

 surface proposée pourra être mise sous la forme 



) d^Y I \^ i ld'>Y , \ 



Si nous nommons, comme au n" 25, r le rayon de la sphère auxiliaire 

 et l'angle qu'il fait avec le plan tangent, nous aurons 



1 rf'F 1 



F, = IIV sin. H + - r*-. = 0, 



3 t/s,-' 4 ■ 



'^représentant toujours une fonction qui ne peut devenir indnie pour au- 

 cune valeur attribuée à l'angle 0. 



Cela posé, on démontrera exactement, comme au n" 17, que l'équation 

 F, = admet un nombre impair de racines entre — 0,, -\- û, et un nom- 

 bre impair entre rr — û, et r -|- 0,. D'ailleurs on a 



</F, rf'F . i ,d, 



—r- = r'R' Slll. '0 COS. il -\- - )■' -,-, 



d'J dz ' i do 



