44 MÉMOIRE SUR LES POINTS 



et il est facile de reconnaître que l'équation — ^ ^ admet deux racines 

 ou n'en admet aucune entre cliacune de ces deux limites, et par suite l'é- 

 quation F, = en admet elle-même une seule ou bien trois. 



Il Y aura donc en M ou bien une seule nappe réelle et ordinaire, ou bien , 

 trois nappes tangentes entre elles, l'une d'elles s'étendant toujours tout 

 autour de M et les deux autres s'étendant pareillement tout autour de ce 

 point, ou bien s'étendant seulement dans un sens et limitées dans le sens 

 opposé. 



Entin, si deux des systèmes de valeurs de p et q sont imaginaires, on re- 

 connaîtra par des raisonnements analogues à ceux des n"' 25 et 27 , que 

 le point M est un point conjugué, ou bien un point saillant ou encore un 

 point de jonction situé sur une nappe réelle. 



3i. Nous ne pousserons pas plus loin cet examen déjà très-long des 

 affections diverses que peut offrir une surface en un point M (a;,, j/, , z,) 

 dont les coordonnées satisfont aux trois équations 



= 0. 



Nous observerons seulement en terminant, que si le système de coordon- 

 nées que l'on considérée! qui, par hypothèse, rend identiques les équations 

 (B), rendait pareillement identiques les équations (C) , les valeurs de p et q 

 seraient fournies par un système de cinq équations du quatrième degré. 

 D'ailleurs le lieu des tangentes à la surface en jM serait une surftice du qua- 

 trième degré, qui pourrait se réduire à un point unique, ou se décompo- 

 ser en deux factcuisdu deuxième degré, ou bien en un plan et une surface 

 du troisième degré, ou, enfin, être indécomposable en facteurs plus simples. 

 De plus, chaque facteur du deuxième degré, ainsi que celui du troisième, 

 le cas ('chéant. pouiront offrir chacune des variétés que nous ont fournies 

 les équations (L) et (S). 



