SINGULIERS DES SURFACES. 45 



NOTE PREMIERE. 



Sur le pat-aboldkle oscillateur. 



Soit l'équation d'un paraboloïdc de la forme 



(J ) Z = V H- BX + CY -f- DX= + EXY + VT , 



proposons-nous de diHermincr les coelficients A, B, C, D, E, F, de manière que eetlc surface ait 

 avec une surface donnée et représentée par l'équation 



(2) F(.r, ?/. .-) =0, 



un contact du deuxième ordre en un point quelconque M (j, i/, j) de celle-ci. 



On dit généralement que deux surfaces (pioleonipics sont osculatrices, ou bien ont entre elles 

 un contact du deuxième ordre, lorsque , pour un même système de valeurs des deux variables indé- 

 pendantes X et (/, l'ordonnée z et ses dérivées partielles du premier et du deuxième ordre prisiis par 

 rapport à r cliïij sont les mêmes pour les deux surfaces. 



D'abord pour exprimer que la surface (I) passe par le point M (x, y, z) de la surface (■2), j'ai 

 la relation 



Z = A -f- Vt.v -f- Cy -H D.i ■' -i- K.nj -t- F//' . 

 d'où résulte 



(5) . . Z — s = B(X — .r)-t-C{Y — y)-4- I)(X»-.c')-hF(XY— .ry)-(-F(V'--,v). 



iJ'ailleuis , eu dilférentiant l'équalion ( I ) par rapport à x et à y, on a pour les deux éipiations diffé- 

 rentielles du premier ordre 



^ = U -1 -2I)X -1 F,Y , ^ = <; -t- 1'^'' -' '^'•'Y . 



