SINGULIERS DES SURFACES. 47 



Une ligne AB {fig. 7) tracée comme on voudra sur cette surface, sera délinie par l'équation ( i] 

 jointe à une deuxième équation 



(2) ?(■«■,!/,-) = 0, 



laquelle représente une seconde surface que nous supposons astreinte à passer par le point 



Si l'on conçoit menée en M une tangente à la courbe AB, cette droite aura pour projections sur 

 les plans des xz et des yz les droites représentées par les équations 



dti dz 



W ,-y=f[i-x], (S) i;- = =-(5-;r). 



d.v ax 



■^ et -^ étant les dérivées de ?/ et de - prises par rapport ù ,r, que x soit ou ne soit pas la 

 variable indépendante. Pour les obtenir, on différentiera les équations (1) et (2), ce qui donnera 

 sénéralcment 



df dY dii dF dz 



(y) _ H_ i + = 0, 



dx dy dx dz d.v 



do d'à du d'j dz 



(j) _ _^ -1 _i .,_ L _ = 0. 



d.r dy dx dz dx 



Si nous supposons que les coordonnées x , y ,z satisfassent aux trois relations 



l'équation l'y) sera indéterminée. Mais en la dilTérentiant elle-même et tenant compte des trois 

 équations précédentes, on trouve 



d'f dF du dF dz d'F IduY rf'F dudz d'FIdzX' 



dx' dxily dx dxdx dx mj' \d.i ! dydz dx dx dz \dxi 



Des deux équations (tf) et (y) On déduira les valeurs de 'j'^, et do ^. , que l'on substituera en- 

 suite dans les équations (a) et {S), ce qui revient, en délinitive, à éliminer ^ et ■^, entre les 

 quatre équations {x) . [C], {y) et (sT). Mais des équations (.-() et (S) on déduit 



dy y — y dz Ç ■ 



dx ê — x' dx !i ■ 



