4 SUR DIVERS LIEUX GÉOMÉTRIQUES 



§1. 



LIEU GÉOMÉTRIQUE DES POINTS DE l'eSPACE DONT LES DISTANCES DE CHACUN A DEUX POINTS 

 FIXES SONT DANS LE RAPPORT CONSTANT L 



Propriété du lieu demandé. — Le lieu géométrique, dont les distances 

 de chaque point à deux points fixes sont dans le rapport constant k, est 

 une sphère, qui a son centre sur la droite qui joint ces deux points fixes, 

 et qui coupe cette droite en deux points , extrémités d'un même diamètre, 

 et tels que le rapport des distances de chacun d'eux aux deux points 

 fixes est égal à k. 



Lorsque /c = 1 , le lieu demandé se réduit au plan perpendiculaire 

 élevé par le milieu de la droite qui joint les deux points fixes. 



Démonstration. — Il est facile de reconnaître que le lieu cherché ne 

 peut être qu'une surface de révolution autour de la droite qui joint les 

 deux points fixes; il suffira donc de déterminer la nature d'un méridien 

 de la surface ; ce qui conduit' à la question de géométrie plane : détermi- 

 ner le lieu de tous les points d'un plan, les distances de chaque point à 

 deux points fixes de ce plan étant dans le rapport constant k. 



Par les deux points fixes A et B {fig. 5 ) , traçons une circonférence quel- 

 conque ABk, et d'un point fixe quelconque C, pris sur le prolongement 

 de la droite AB, menons la tangente Cn. La distance du point de contact 

 u au point fixe C sera donnée par la relation 



Cn = CA . CB; 



celle-ci montre que cette distance est indépendante du rayon du cercle ABn; 

 si donc on fait varier le cercle XBn, le point de contact n restera sur 

 une même circonférence dont le centre est en C. 



D'un autre côté, si l'on tire les deux droites nA, nB, les deux triangles 

 semblables nCA, nCB donnent la proportion : 



n.\ : îiB = Cn : CB; 



