6 SUR DIVERS LIEUX GÉOMÉTRIQUES 



La surface sera : 



Un ellipsoïde de révolution allongé, si A < I , 



Un hypcrboloïde de révolution à deux nappes, si A > I , 



Un paraboloïde de révolution, si /( = I. 



Démonstration. — On sait démontrer par la synthèse ' que le lieu géo- 

 métrique de tous les points d'un plan , dont les distances à un point et à 

 une droite donnés dans ce plan sont dans le rapport constant k, est une 

 courbe du second degré, savoir : 



Une ellipse, si A < 1 ] 



Une hyperbole, si k y i \ (y). 



Une parabole, si /; = 1 ) 



On sait d'ailleurs que le point et la droite donnés sont respectivement 

 un foyer et une directrice de la courbe du second degré et que le grand 

 axe de celle-ci est toujours perpendiculaire à la directrice. 



Si donc l'on fait tourner cette courbe du second degré avec sa direc- 

 trice autour du grand axe, la courbe engendrera une surface de révolu- 

 tion du second degré et sa directrice un plan perpendiculaire à l'axe de 

 révolution ; et il est évident que les distances de chaque point de la surface 

 au foyer et à ce plan sont encore dans le rapport constant A-; d'où l'on 

 déduit comme réciproque la propriété du lieu demandé. 



Corollaire. — Si un point se meut dans un plan donné de manière que 

 le rapport de ses distances à un point et à un plan fixes reste constant, il 

 décrira une courbe du second degré, intersection de ce plan avec la sur- 

 face de révolution définie plus haut. Cette courbe est toujours une ellipse, 



' M. Dandclin, colonel du génie, a démontré {Mémoires de l' Académie) (\ue la section faite dans 

 un cône de révolution par un plan tangent à deux sphères inscrites à ce cône, est une courbe du 

 second degré ayant pour foyers les deux points de contact. M. Olivier, dans sa Géométrie descrip- 

 tive, a déduit de ce beau théoi-ème que les droites dans lesquelles le plan langent coupe les plans 

 des cercles de contact des sphères avec le cône sont les directrices de la même courbe. 



