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quand le plan donné rencontre la droite fixe. Si le plan donné est paral- 

 lèle à la droite fixe , la courbe sera une parabole , si A;= 1 ; une hyperbole , 

 si fc > 1 et une ellipse, si A: < 1. 



§ III. 



LIEU GÉOJIÉTRIQUE DES POINTS DE l'eSPACE DONT LES DISTANCES A UN POINT ET A UNE DROITE 

 DONNÉS SONT DANS LE RAPPORT CONSTANT k. 



Propriété du lieu demandé. — Le lieu géométrique des points de l'espace, 

 dont les distances à un point et à une droite sont dans le rapport cons- 

 tant A;, est une surface de révolution, engendrée par une courbe du second 

 degré qui tourne autour de son petit axe et qui a respectivement pour 

 foyer et directrice le point et la droite donnés. 



La surface sera : 



Un ellipsoïde de révolution surbaissé, si /i < I , 

 Un hyperboloïde de révolution à une nappe, si /; > i , 



Une surface cylindrique projetée sur le plan qui passe par le point et la droite dans une pa- 

 rabole qui a respectivement pour foyer et directrice le point et la droite donnés, si /( = !. 



Démonslration. — Nous ferons d'abord voir que le lieu cherché est une 

 surface de révolution. A cet effet, désignons par D la droite donnée et 

 par P le point donné. Prenons sur la droite un point quelconque C et 

 imaginons la sphère auxiliaire, lieu des points de l'espace dont les dis- 

 tances aux points P et C sont dans le rapport k. Si par le point C nous 

 menons un plan perpendiculaire à la droite D, ce plan coupera la sphère 

 suivant une circonférence de petit cercle, qui appartiendra au lieu cher- 

 ché, comme il est facile de le voir, si l'on fait attention que les distances 

 des divers points de cette circonférence au point C sont aussi les distances 

 des mémos points à la droite D. 



On aura de la même manière autant de circonférences du lieu cherché 

 que l'on voudra bien considérer de points C sur la droite D : s'il arrivait 



