8 SUR DIVERS LIEUX GÉOMÉTRIQUES 



que le plan, mené par le point C perpendiculairement à la droite D, ne 

 coupât pas la sphère , ce serait une preuve que le lieu cherché ne s'étend 

 pas jusqu'à ce plan. 



Pour que ces circonférences, dont les plans sont, par construction, per- 

 pendiculaires à la droite D, appartiennent à une surface de révolution, il 

 faut encore que leurs centres se trouvent sur une même droite parallèle à D. 



Pour démontrer ce dernier point, remarquons que la parallèle à D, 

 menée par le centre d'une sphère auxiliaire, doit passer par le centre de 

 la circonférence fournie par cette sphère. D'après cela, si les centres de 

 toutes les sphères sont sur une même droite parallèle à D, cette parallèle 

 sera l'axe de révolution de la surface qui nous occupe. 



D'abord le centre de la sphère auxiliaire, que nous avons considérée 

 plus haut, se trouve sur la droite PC et par suite dans le plan PD. Soient 

 m et n les points dans lesquels cette droite PC rencontre la sphère, mn sera 

 un diamètre de cette dernière et l'on aura respectivement pour les deux 

 points m et ii : 



ml' : mC = k, 

 vP : nC = L 



Comme le point P est fixe, ces égalités prouvent que tandis que le point C 

 se meut sur la droite D, les points m et n décrivent chacun dans le plan 

 PD, une parallèle à D; donc le point milieu de mn, c'est-à-dire, le centre 

 de la sphère décrit aussi dans le même plan une parallèle à D. Ainsi les 

 centres de toutes les sphères se trouvent dans le plan PD sur une même 

 parallèle à D; cette parallèle est donc l'axe de révolution de la surface. 



Faisons voir maintenant qu'un méridien de la surface est une courbe 

 du second degré dont le petit axe coïncide avec l'axe de révolution. 



Le plan qui passe par le point P et la droite D, passant aussi par l'axe 

 de révolution, coupe la surface dans un méridien. Les distances de chaque 

 point de ce méridien au point P et à la droite D, devant être dans le rap- 

 port constant A-, ce méridien est une courbe du second degré ayant res- 

 pectivement pour foyer et directrice le point P et la droite D; ce sera, 

 d'après la relation (9) du paragraphe (2), 



